编辑推荐

  英国高中的数学教师带领你游历无理数的世界
  为你揭开激动人心的数学领域
  领略数学之美
  走过一段天才导引的历程
  品读关于人类如何用有限的认知能力拓展无理数的知识边疆的故事
  原著英文版由普林斯顿大学出版社精心出版
  裸背线装带来舒适的阅读体验

内容简介

  《无理数的那些事儿》是关于无理数的综合性读物,讲述了从古代到21世纪关于无理数的内容,以及相关数学家们的故事。
  《无理数的那些事儿》适合列入数学相关专业学生的书单,也适合数学教师?数学爱好者和相关科研人员阅读。

作者简介

  朱立安?哈维尔(JulianHavil):英国数学作家,退休数学教师。退休前一直在英国“四大公学”之一的“温彻斯特公学”担任数学教师三十多年。他的作品包括《Gamma,ExploringEuler'sConstant》、《Nonplussed》、《Impossible》和《JohnNapier,Life,LogarithmsandLegacy》。

精彩书评

  这《无理数的那些事儿》的内容就像其英文副书名一样巧妙和引人注目。哈维尔是英国“温彻斯特公学”的退休教师,他在那里教了数十年的数学。在这《无理数的那些事儿》中,他把读者带入了一段无理数的历史。《无理数的那些事儿》从古希腊的毕达哥拉斯开始,人们现在知道通往无理数的道路*有可能是由毕达哥拉斯开启的,这条道路一直延续到今天。《无理数的那些事儿》影响我不时思考无理数相关的问题,比如“无理数小数表示中的数字是随机的吗?”——《科学美国人》AnnaKuchment
  《无理数的那些事儿》适合任何对数和数的发展历史感兴趣的人,书中精彩有趣的史实不仅适合浏览性阅读也适合精读。这《无理数的那些事儿》的难度恰到好处,不仅有很多适合高中水平的读者阅读的内容,也由浅入深地介绍了一些非常深刻的数学,非常精彩!——《美国数学协会书评》RichardWilders
  因为作者并不回避提供一些详细的论据,所以想要完全读懂《无理数的那些事儿》的部分数学内容,需要读者至少具有二年级的本科数学背景。但是,书中的史料呈现是以现代数学的形式给出的。许多读者将在这《无理数的那些事儿》中遇到很多精彩的和令人惊讶的论题,其中很多是值得继续探索的领域。——《数学评论剪报》E.J.Barbeau
  这是一本写得很好的书。如果你是不打算在大学里学习数学的高中生,应该在学校的*后两年里抽时间阅读这《无理数的那些事儿》。写这样一《无理数的那些事儿》是很有挑战性的,作者还制作了许多清晰的图表来说明问题。作者用幽默的语言介绍了大量的例子,给读者以欢快的阅读体验。这《无理数的那些事儿》对于文科学生来说也是一本很好的读物,因为它不仅与数学内容的历史渊源有关,而且与一些伟大的哲学思想有关。——《数论与离散数学短文》A.G.Shannon

目录

致谢
引言
第一章希腊起源1
第二章德国之路36
第三章两个新的无理数68
第四章无理数,旧的和新的83
第五章一个非常特殊的无理数106
第六章从有理到超越120
第七章超越数145
第八章再论连分数170
第九章问题与随机问题183
第十章一个问题,三种解答192
第十一章无理性重要吗206
附录223
附录A西奥多罗斯螺线223
附录B圆的有理参数化228
附录C连分数的两个性质230
附录D寻找罗杰?阿培里的坟墓234
附录E等价关系236
附录F中值定理239
索引241

前言/序言

  致谢
  非常感谢我的编辑,维奇?卡尼,感谢他无限的耐心和理解;感谢乔恩?温赖特如此熟练和灵巧地排版此书;感谢肖恩?库雷西?安德鲁?莉和乔治?沃特金森给出专业的计算机图形学的意见;感谢古希腊人从音响工程师的角度给出专业的知识.最后特别提到阿达瓦?阿夫沙尔和阿奇?博特,是我以前的两名学生,感谢他们如此仔细地阅稿并直率地给出评论,他们对这《无理数的那些事儿》的出版有不可估量的帮助。
  无理数被认识大约有2500年了,但只是在过去的近150年里才被人们真正的理解。《无理数的那些事儿》指引你,进行这样的一个旅行,了解无理数长期历史进程中的一些重要的理论思想、人物以及相关事件的发生地点。
  无理数这一大事记起源于大约公元前450年的希腊,当时的希腊是纯粹数学的发源地,而那些理论超乎寻常的主导地位,使其注定要过早的瓦解。第一位要指出的代表人物是萨摩斯岛的毕达哥拉斯,神秘主义使得他被人们确切所知的东西很少,但他的确是最早建立纯粹数学的人。常数有时候被作为无理数的代名词,一般地(尽管不是普遍地)认为它是一个基本无理数,正如一致认为正是动摇了古希腊数学信仰中至关重要的基本哲学原理:万物皆为有理数。人们认识到正整数不能统治整个宇宙。然而,正如我们所知道的那样,古希腊人并没有发现无理数,更不用说(直到1525年才出现)这个符号了;他们已经论证了,一个正方形的边长和对角线不能用同一个单位来测量,或者换句话说,测量边长的任何单位与对角线都是不可公度的。我们的一个早期的任务就是解决无理数的不可公度这一问题。
  然后,如大家所知,关于无理数的这个故事就开始了,有时也可以预见它的进展方向,但是通常它都是沿着人迹罕至的道路,并长期以来被遗弃或隐藏在数学专著的浓密的灌木丛中。正如之前所提到的,我们已经知道了关于无理数的一些结论,这些各种各样的结论已经形成了无理数的历史。无论是伟大的,还是渺小的;无论是著名的,还是无名的;也无论是现代的,还是古典的——最后我们都赋予它们接近原始的形式,尽管这样做代价有点高。对于数学,再没有比G.H.Hardy(哈代)更会审美的了,他有一句最为广泛流传的语录是1:
  世上永没有丑陋数学的立身之地。
  1一位数学家的自白(剑桥大学出版社,1993)
  也许不是这样,但是最早获得的关于事物本质的证明往往是看似幼稚的,令人害羞的2,然而这些证明不应该被遗忘,而且这个过程是积累的绝好机会,对它们稍加改动,便可以使他人获得更好的方法,能够被用于后期获得的数学思想方法中。
  在阅读这《无理数的那些事儿》的旅途到达终点时,希望读者能够洞察到无理数在纯数学发展中的重要性3及其对数学发展提出的巨大挑战;事实上,有些挑战已经出现了,其它的挑战也将慢慢地显现。
  那么,所谓的无理数是什么呢?的确,回答是显而易见的:
  无理数就是不能表示为两个整数的比的数。
  或者,等价地说,
  就是无限不循环小数。
  然而,从上面的两个定义可以看出,定义无理数不能像定义奇数那样,说它不是偶数。问题所在的严重性是,这些答案仍有诸多局限性:例如,我们怎么去定义两个无理数是否相等,或者,它们之间的算术运算又是怎样的呢?尽管这些定义是熟悉的、可理解的、无异议的,但它们在实践中也毫无作用。由此,无理数就被定义成它们中的一个,而不再是独立存在的了。谁说它们是存在的呢?为了创新,我们采用第三种鲜为人知的方法:
  因为每个有理数都可以写成的形式,即,每个有理数都是其它两个有理数(在这里,就是和)的平均数;因此,不存在有理数会与所有其它有理数不同。
  鉴于此,我们可以拓展并将无理数定义为:
  所有实数中不是有理数的数的集合。
  由其新颖性,这种定义相较以前的定义局限性更小。然而,有一个令人不安的事实,如果我们使用整数(也许不用),有理数严格有效的定义更为简单直接,但是如何将它从无理数中分离出来确实又是另一重要的问题,有这样一个形象的比喻:有理数集合与整数集合规模一样,但是无理数规模更大。这一个问题酝酿了几个世纪,它的解答分析更是花了较长时间,自从埃利亚的芝诺开始,在超过两千年后,19世纪严格主义者们提出了更多挑战性的问题及更为复杂的悖论。最后是在德国解决这一问题,由多位德国数学家几乎同时提出三种答案,而不像是迟到的公车到来一样。我们在倒数第二章进行讨论,细节上毋庸置疑,因为繁琐的查证会占据很大的篇幅,但是我们希望足够的信念会留下一个积极的信号。
  那么,这一切的目的是什么呢?无疑是希望读者能够更好的了解实变量及其相关的极限和级数,为了使他们能像阅读历史书那样:依次从开始到结束。同时也为了那些数学训练较少,但是有极强的好奇心和热情的人;他们可能钻研熟悉或新颖的知识,从而像尝试拼图游戏那样填满缺口。最后,这个拼图可能不完整,但是它的结构足够我们清晰的认识它。有时为了解释较为复杂的想法,我们付出了很多努力,我们必须承认读者也需要投入很多精力。借用普林斯顿大学前任校长詹姆斯?麦考士的话,叙述如下:
  读书不是为了你,而是为了让你思考。4
  了解的读者可能会对一些内容的疏漏感到失望,比如以为底数的黄金进制(用于确定黄金比),又比如法雷序列和福特圆。这些还有其他的思想可能是由于结构被疏忽,但是其中更多的是由于偶然情况,削弱深刻思想的描述,而简单地去探寻一门学科的代表工作,这门学科由于其广度和本质上的困难而占据重要的地位。这《无理数的那些事儿》的每一章都可以拓展成另一《无理数的那些事儿》,每《无理数的那些事儿》都可以分成几卷。
  4他继续说到:“世界上没有任何书能与《圣经》相媲美。”这就承认了,我们更看重情操的宽广。
  在此,我们为《无理数的那些事儿》中所有印刷或其它错误向读者道歉,为了消除我们的这种愧疚,我们寻求读者的赞同,用一位名为埃里克?贝克的读者的评论就是:
  出版以后再校对更为有效。


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